Дом 

Как раскладывается корень. Как быстро извлекать квадратные корни. Разложение подкоренного выражения на множители

Что такое квадратный корень?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом "радикал ".

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...

В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...

Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

Потому, что это - арифметический квадратный корень .

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это - решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)

Всё это - в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое «извлечение корня»;
  • в каких случаях он извлекается;
  • принципы нахождения значения корня;
  • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня - процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .

Пример 1

4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Пример 2

2 ≈ 1 , 4142 .

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

  • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
  • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
  • Извлечение корня из отрицательного числа

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Главный принцип нахождения значения корней - основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня - наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2041
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859
2 8000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21 952 24 389
3 27000 29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319
4 64000 68 921 74 088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649
5 125000 132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379
6 216000 226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 300 763 314 432 328 509
7 343000 357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976 456 533 474 552 493 039
8 512000 531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969
729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144 .

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2 . Следовательно, 144 = 12 2 = 12 .

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

144 = 12 - окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем : любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

p q n = p n q n . Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474 , 552 . Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Из этого следует: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3 , то

474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10 .

Завершаем вычисления: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа - a и нечетного показателя корня 2 n - 1 справедливо равенство:

A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1

Определение 7

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

12 209 243 5 . Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 ​​​​​​

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3

Краткая запись решения:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .

Ответ: - 12 209 243 5 = - 1 2 3 .

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n - ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5 .

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , вычисляя при этом 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5 . Все это удобно представить в виде таблицы:

Значение ряда единиц равняется 2 (т а к к а к 2 2 < 5 , а 2 3 > 5) . Переходим в разряду десятых - будем возводить в квадрат числа 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , . . . , 2 , 9 , сравнивая полученные значения с числом 5 .

Поскольку 2 , 2 2 < 5 , а 2 , 3 2 > 5 , то значение десятых равняется 2 . Переходим к нахождению значения сотых:

Таким образом, найдено значение корня из пяти - 2 , 23 . Можно находить значения корня дальше:

2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter


Преобразование выражений с корнями и степенями часто требует выполнения переходов от корней к степеням и обратно. В этой статье мы разберем, как такие переходы осуществляются, что лежит в их основе, и в каких моментах чаще всего возникают ошибки. Все это снабдим характерными примерами с детальным разбором решений.

Навигация по странице.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Возможность перехода от степени с дробным показателем к корню диктуется самим определением степени. Напомним, как определяется : степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называют корень n-ой степени из a m , то есть, где a>0 , m∈Z , n∈N . Аналогично определяется и дробная степень нуля , с той лишь разницей, что в этом случае m уже считается не целым, а натуральным, чтобы не возникало деления на нуль.

Таким образом, степень всегда можно заменить на корень . Например, от можно перейти к , а степень можно заменить корнем . А вот переходить от выражения к корню не следует, так как степень изначально не имеет смысла (степень отрицательных чисел не определена), несмотря на то, что корень имеет смысл.

Как видите, в переходе от степеней чисел к корням нет абсолютно ничего мудреного. Аналогично осуществляется переход к корням от степеней с дробными показателями, в основании которых находятся произвольные выражения. Заметим, что указанный переход осуществляется на ОДЗ переменных для исходного выражения. К примеру, выражение на всей ОДЗ переменной x для этого выражения можно заменить корнем . А от степени перейти к корню , такая замена имеет место для любого набора переменных x , y и z из ОДЗ для исходного выражения.

Замена корней степенями

Возможна и обратная замена, то есть, замена корней на степени с дробными показателями . В ее основе также лежит равенство , которое в данном случае используется справа налево, то есть, в виде .

Для положительных a указанный переход очевиден. Например, можно заменить степенью , а от корня перейти к степени с дробным показателем вида .

А при отрицательных a равенство не имеет смысла, но корень при этом может иметь смысл. Например, корни и имеют смысл, но заменить их степенями и нельзя. Так можно ли их вообще преобразовать в выражения со степенями? Можно, если провести предварительные преобразования, заключающиеся в переходе к корням с неотрицательными числами под ними, которые потом и заменить степенями с дробными показателями. Покажем, в чем заключаются эти предварительные преобразования и как их провести.

В случае с корнем позволяют выполнить такие преобразования: . А так как 4 – положительное число, то последний корень можно заменить степенью . А во втором случае определение корня нечетной степени из отрицательного числа −a (при этом a – положительное), выражающееся равенством , позволяет корень заменить выражением , в котором кубический корень из двух уже можно заменить степенью, и оно примет вид .

Осталось разобрать, как заменяются корни, под которыми находятся выражения, на степени, содержащие эти выражения в основании. Здесь не стоит спешить с заменой на , буквой A мы обозначили некоторое выражение. Приведем пример, поясняющий, что под этим имеется в виду. Корень так и хочется заменить степенью , основываясь на равенстве . Но такая замена уместна лишь при условии x−3≥0 , а для остальных значений переменной x из ОДЗ (удовлетворяющих условию x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Из-за такого неаккуратного применения формулы нередко возникают ошибки при переходе от корней к степеням. Например, в учебнике дано задание, представить выражение в виде степени с рациональным показателем, и приведен ответ , который вызывает вопросы, так как в условии не задано ограничение b>0 . А в учебнике присутствует переход от выражения , скорее всего через следующие преобразования иррационального выражения

к выражению . Последний переход также вызывает вопросы, так как сужает ОДЗ.

Возникает закономерный вопрос: «Как же правильно перейти от корня к степени для всех значений переменных из ОДЗ»? Такая замена проводится на базе следующих утверждений:


Прежде чем обосновать записанные результаты, приведем несколько примеров их использования для перехода от корней к степеням. Для начала вернемся к выражению . Его надо было заменять не на , а на (в данном случае m=2 – целое четное, n=3 – натуральное). Другой пример: .

Теперь обещанное обоснование результатов.

Когда m – целое нечетное, а n – натуральное четное, то для любого набора переменных из ОДЗ для выражения значение выражения A положительно (если m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ). Поэтому, .

Переходим ко второму результату. Пусть m – целое положительное нечетное, а n – натуральное нечетное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A неотрицательно, , а для которых отрицательно,

Аналогично доказывается следующий результат для целых отрицательных и нечетных m и натуральных нечетных n . Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно, , а для которых отрицательно,

Наконец, последний результат. Пусть m – целое четное, n – любое натуральное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно (если m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . А для которых отрицательно, . Таким образом, если m – целое четное, n – любое натуральное, то для любого набора значений переменных из ОДЗ для выражения его можно заменить на .

Список литературы.

  1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009.- 336 с.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве - в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

  • без множителей;
  • с множителями;
  • с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример

Пример 1: 18 × 2 = ?

Пример 2: 10 × 5 = ?

Пример

Пример 1: 18 × 2 = 36

Пример 2: 10 × 5 = 50

Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример

Пример 1: 36 = 6 . 36 - квадратный корень из шести (6 × 6 = 36) .

Пример 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2 . Корень из 25 - 5 , поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 27 3 = 3 . Кубический корень из 27 равен 3: 3 × 3 × 3 = 27 .

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель - число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, - требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример

Пример 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Пример 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное - наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Пример

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:

Показатели равны 3 и 2 . Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3 , и на 2). Для умножения корней необходим показатель 6 .

Записать каждое выражение с новым показателем:

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении 5 3 необходимо умножить 3 на 2 , чтобы получить 6 . А в выражении 2 2 - наоборот, необходимо умножить на 3 , чтобы получить 6 .

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2 , а втором - 2 в степень 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Перемножить числа под корнем:

(8 × 25) 6

Записать результат:

(8 × 25) 6 = 200 6

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

    Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

    • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
    • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

  1. Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20

  2. Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3

  3. Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.

  4. Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Вычисление квадратного корня вручную

    При помощи деления в столбик

    1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде "7 80, 14". Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

    2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

    4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере второй парой чисел является "80". Запишите "80" после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите "4_×_=" снизу справа.

    5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 - слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа - это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

    6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

    7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите "54_×_=" снизу справа.

    8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 - 4941 = 173.

    9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Понимание процесса

      Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

      Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C - третьей и так далее.

      Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b - вторую пару цифр и так далее.

      Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

    1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.